lunes, 24 de junio de 2019
miércoles, 19 de junio de 2019
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO CRÍTICO EN MATEMÁTICA - ppt descargar
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO CRÍTICO EN MATEMÁTICA - ppt descargar:
Para el desarrollo del pensamiento crítico en Matemática, al igual que en otras áreas, se parte del cuestionamiento verbal, primero para entender e identificar el problema: ¿Tienes suficiente información relevante? ¿Está clara y precisa la información que tienes? ¿Es suficiente para identificar el problema? Luego se inicia su resolución: ¿Cuál puede ser la estrategia más efectiva y oportuna (figuras, gráficos, ecuaciones, patrones, fórmulas, casos, etc.)? A continuación veamos una sesión de GEOMETRÍA
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viernes, 7 de junio de 2019
sábado, 1 de junio de 2019
Matemáticas para la formación de ciudadanos críticos
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¿Para qué sirven las matemáticas?Esta es una pregunta que puede tener muchas y diferentes respuestas,
dependiendo de a quién se le plantee. Podríamos encontrar estudiantes respondiendo que no sirven para nada o
para acreditar un examen...
Por: Mario Sánchez Aguilar*
¿Para qué sirven las matemáticas? Esta es una pregunta que puede tener muchas y diferentes respuestas,
dependiendo de a quién se le plantee. Podríamos encontrar estudiantes respondiendo que no sirven para nada o
para acreditar un examen, como también sería posible encontrar científicos argumentando que lasmatemáticas
son la base para el desarrollo tecnológico y económico de un país.
Buscando larespuesta “oficial” a este cuestionamiento, encontré dos documentos de laSecretaría de Educación
Pública que lo abordan: La fundamentación curricular para las matemáticas de la actual Reforma de la
Educación Secundaria; y el programa de estudios de matemáticaspara la última Reforma Curricular del
Bachillerato Tecnológico.
El primer documento responde: “[P]ara manejarse con las fracciones, trazar funciones, calcular ángulos,
Matemáticas para la formación de ciudadanos críticos probabilidades y perímetros. Pero también para incentivar laabstracción a fin de facilitar el razonamiento, desarrollar la argumentación, iniciar a la prueba”. Acerca de los propósitos de las matemáticas en el programa del bachillerato tecnológico, seenuncian once puntos que hacen referencia al manejo y aplicación de habilidades matemáticas en la resolución de problemas, en la comprensión el mundo físico,en la construcción de inferencias, entre otros. Además de ayudarnos a entender la naturaleza axiomática de la matemática, los fenómenos físicos que nos rodean, a construir modelos, a desarrollar aplicaciones, etcétera ¿La educación matemática puede jugar un papel en la construcción de una sociedad democrática con ciudadanos más críticos? Varios matemáticos educativos (investigadores en didáctica de las matemáticas) afirman que sí. Tomemos el ejemplo de Dinamarca, lugar donde realizo mis estudios doctorales y desde donde escribo este artículo. El Doctor Mogens Niss de la Universidad de Roskilde, en su papelde responsable matemático del informe PISA de la OCDE, declaró en mayo del 2005en entrevista publicada en el diario españolLa Vanguardia: “Recuerdeque la democracia es una broma si los ciudadanos son analfabetos enmatemáticas. La política no son palabras, son números y, al final, sólo se puede juzgar en los números. El ciudadano que no entiende los presupuestos públicos es pasto de la verborrea de los políticos” Los investigadores daneses Helle Alrø y Ole Skovsmose en su libro Dialogue and Learning in Mathematics Education sostienen una postura compatible con la opinión del doctor Niss:“Para que una sociedad sea una democracia en buen funcionamiento es importante que todos puedan leer y escribir…El alfabetismo matemático [Mathemacy] es relevante para la democracia y para el desarrollo de una ciudadanía de la misma manera que lo es el alfabetismo…apoya una lectura crítica de nuestro ambiente social y político…”. Trataré de ilustrar con un ejemplo local las anteriores afirmaciones. En el Plan Nacional de Desarrollo que se encuentra en la página web de la Presidencia de la República de México (http://pnd.calderon.presidencia.gob.mx/), dentro del eje titulado „Economía competitiva y generadora de empleos‟ se diagnostica lo siguiente: “En ausencia de cambios importantes, el crecimiento de la economía mexicana será,en promedio, de alrededor de 3.5 % por año, lo que implica un incremento per cápita cercano a 2.4%. De mantenerse esta situación, tomaría 30 años duplicar el nivel de ingreso por habitante” Este diagnóstico se complementa con un gráfico estadístico que muestra el comportamiento del producto interno bruto per cápita, de diferentes países (incluyendo a México), a través de los últimos catorce años. Pero, ¿Cómo se lee el gráfico? ¿Cómo es la situación de México (mejor, peor) respecto a los demás países incluidos en la gráfica? ¿Cómo, a partirde los datos proporcionados, se concluye que tardará 30 años duplicar el nivelde ingreso por habitante? Evidentemente se necesita poseer un cierto nivel deeducación matemática, para poder entender ese mensaje, y para poder emitir un comentario o una crítica al respecto. Desafortunadamentela importancia de las matemáticas en la formación de ciudadanos críticos no es reconocida por gran parte de las instituciones educativas y de la sociedad engeneral en México: Prácticamente es nula la existencia de diseños didácticos (ni siquiera a nivel experimental) donde los niños y jóvenes estudien a lamatemática y su relación con la conciencia política, la ética y la toma dedecisiones; asimismo el estatus social de la matemática no es el mismo que elde otras ramas del conocimiento, por ejemplo, si un político mexicanodesconociera quién fue Benito Juárez sin duda se le señalaría de ignorante por sus adversarios, pero si ese mismo político ignorara la manera de resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2, probablemente la crítica no tendría lamisma intensidad. Es responsabilidad las instituciones y de todos los ciudadanos, esforzarnos por cambiar el estatus, la visión que se tiene de, y el uso que se hace de laeducación matemática en nuestro país. * Maestro en ciencias, especialidad enmatemáticas educativas por el Cinvestav. Actualmente es candidato al doctoradoen la Universidad de Roskilde, Dinamarca. http://ciencias.jornada.com.mx/investigacion/ciencias-fisico-matematicas/investigacion/mat NOTAS SOBRE LA HISTORIA DE LA ARITMÉTICA 1- CONCEPTOS DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMITIVOS (25,000- 5,000 A. C.). Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética. 2- Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasías de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A’h-mose) copió en 1650 A. C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico. 3- En una ilustración basada en un friso asirio, aparece Assurbanipal (Surdanápalo) guiando a sus soldados en una batalla. Los pueblos mesopotámicos representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo con su escritura cuneiforme; así, una marca para el uno; dos para el dos, hasta el nueve. Para el diez, cien, etc., usaban signos convencionales. 4- Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del sigloVIII (D.C.). Por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas. 5- Aunque los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas; por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En el siglo XVII, Leibnitz descubrió la numeración de base binaria, y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración. 6- La contribución de los romanos a las Matemáticas estuvo limitada a varias nociones de Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir y fijar las fronteras del vasto imperio. No obstante, la huella romana se observa todavía hoy a través de su numeración, que ha sido fijada por el uso, en los capítulos de los libros; en la sucesión de los reyes; en la notación de los siglos; y, especialmente, en las inscripciones históricas. 7- El problema de las igualdades no fue conocido por los antiguos en su forma aritmética. El primero que utilizó el signo igual (=), y expuso algunas cuestiones teóricas sobre las igualdades fue Robert Recorde, en su obra “The Ground of Arts”, publicada en Londres en 1542. Más tarde, en el año XVII, el inglés Harriot y el francés Bouguer establecieron el uso de los signos mayor que (>) y menor que (<). 8- La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban contando hasta formar el llamado quipo. 9- El signo más antiguo para indicar la resta lo encontramos en el famoso papiro de Rhind, tal como lo escribían los egipcios (۸). Se cuenta que los signos actuales de suma y resta se deben a que los mercaderes antiguos iban haciendo unas marcas en los bultos de mercancías. Cuando pesaban los sacos les ponían un signo más (+) o un signo (-), según tuviera mayor o menor cantidad de la estipulada. 10- El espíritu práctico que animaba a los romanos no les permitió hacer grandes progresos en los problemas teóricos de las ciencias matemáticas. Esto se comprende mejor aún, si se piensa en las deficiencias de su sistema de numeración, que crearon siguiendo la huella de los griegos. Los hindúes llegaron a cuestiones más abstractas, tal como se puede apreciar en el manuscrito Bakhshali que data del siglo VII ( D.C.). 11- El complemento aritmético, que es una consecuencia del carácter decimal de nuestro sistema de numeración ha sido empleado como procedimiento auxiliar para la resolución de las operaciones de sumar y restar, y también para resolver las operaciones combinadas de suma y resta. Tiene poco uso. 12- La operación de multiplicar resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajosa, debido a su notación numeral. El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647. 13- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios. Antes del uso del ábaco (suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi. La obra más antigua que se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior. 14- Babilumeral. El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647. 15- 16- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios. Antes del uso del ábaco (suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi. La obra más antigua que se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior. 17- 18- Babilos matemáticos tuvieran que pasar muchas vicisitudes desde el uso del rudimentario ábaco, hasta las más modernas representaciones de las operaciones indicadas. El empleo de la raya horizontal entre los números para indicar la división, se debe a Leonardo de Pisa( Fibonaci, hijo de Bonaci), que la tomó de los textos árabes. 19- A partir de los trabajos de interpretación de la escritura cuneiforme en 1929 por O. Neugebauer, se ha puesto de relieve la contribución babilónica al progreso de las matemáticas. En las tablillas y puestas en lenguas modernas, y que datan de 2000- 1200 A. C., aparecen infinidad de problemas resueltos de modo ingenioso. Estos problemas tuvieron su origen en la activa vida comercial del puesto babilónico. 20- De unas tablillas encontradas en las orillas del Eufrates, se deduce que los primeros que aplicaron la elevación a potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación sin necesidad de recurrir al ábaco, pues empleaban la tabla de cuadrados, al basarse en el principio que dice “el producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”. 21- Hacia el siglo III (A. C.), los griegos alcanzaron un elevado grado de abstracción en las ciencias matemáticas. La misma palabra Aritmética es de origen griego. Para ellos, esta ciencia era una rigurosa teoría de los números. Sus investigaciones los llevaron muy pronto al concepto de número primo, de donde partió Eratóstenes para descubrir su curioso método de determinación de los números primos en la serie natural. 22- Los principios generales de divisibilidad son una consecuencia del desarrollo que había alcanzado la teoría de los números. Los hindúes, por ejemplo, llegaron a conocer la divisibilidad por tres, nueve y siete. Griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares o impares. El genial matemático francés Blas Pascal (1623- 1662), propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número. 23- Euclides, hacia el 300 A. C., demostró en sus “Elementos”, los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros, lo que permite a Gauss en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética. Más tarde, alrededor de 1875, el matemático alemán Dedekind (1831- 1916), llevó a cabo la generalización de los caracteres de divisibilidad, extendiéndolos a los números racionales y a los ideales. ( o imaginarios). 24- Al descubrir Euclides la infinitud de la serie de los números primos, alcanzó su máximo desarrollo la teoría de los números entre los griegos. No se volvieron a hacer progresos en este campo, hasta que Fermat, en 1630-65, propuso su teorema sobre los exponentes primos. L. S. Dickson afirma en su “History of theory of numbers” que los chinos ya conocían este problema en el 500 A. C., cuando el número era dos. 25- Con los trabajos de Fermat (1601-65), Euler (1707-1783) y Gauss (1777- 1855) sobre la teoría de los números, se echaron las bases de la Aritmética moderna o superior. En 1850, Tchebycheff realizó un notable progreso sobre los números primos. En 1932, el francés Landau, completó el trabajo de aquel sobre la distribución de los números primos, demostrando lo que el inglés Hardy llamó teorema de Tauber. 26- En el siglo IV (A. C.), Euclides, un genial griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época. Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX y X de sus “Elementos”. Entre los curiosos datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método de resolución del Máximo Común Divisor (M.C.D.), que hoy llamamos de divisiones sucesivas. 27- No se olvidó Euclides en sus “Elementos”, de ofrecer un método para la resolución del Mínimo Común Múltiplo ( M. C. M.), de dos números. Para resolver el M. C. M., Euclides propuso la siguiente regla: “El producto de dos números dividido entre el M. C. D. de ambos números, da el Mínimo Común Múltiplo”. Como se ve este procedimiento resultaba más trabajoso que el que utilizamos en la actualidad. 28- El origen de las fracciones comunes o quebrados es muy remoto. Los babilonios, egipcios y griegos han dejado pruebas de que conocían las fracciones. Cuando Juan de Luna tradujo al latín, en el siglo XII, la Aritmética de Al-Juarizmi, empleó fractio para traducir la palabra árabe al-kasr, que significa quebrar, romper. Este uso se generalizó junto con la forma ruptus, que prefería Leonardo de Pisa. 29- Los números fraccionarios tuvieron su origen en las medidas. Los babilonios utilizaban como único denominador el sesenta. Los egipcios empleaban la unidad como numerador; para representar 7/8, escribían, ½, ¼, 1/8. Los griegos marcaban el numerador con un acento y el denominador con dos; o colocaban al denominador como un exponente. Hiparco introdujo las fracciones babilónicas en la Astronomía griega. 30- Las reglas para la resolución de las operaciones con números fraccionarios o quebrados, datan de la época de Aryabhata, siglo VI y Bramagupta, siglo VII, ambos después de Jesucristo. Un estudio más amplio y sistemático de las operaciones con quebrados lo ofrecieron los también hindúes, Mahavira, en el sigloIX y Bháskara en el siglo XII. Dichas reglas son las mismas que se emplean actualmente. 31- En las numerosas inscripciones egipcias descifradas se encuentran variadísimos problemas con números fraccionarios. Con su peculiar sistema de fracciones con la unidad como numerador, resolvían los problemas de la vida diaria, tales como la distribución del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides, etcétera. Algunos de los problemas presentados en el papiro de Ahmes tienen todavía actualidad. 32- Los pitagóricos aproximaban las raíces cuadradas inexactas (números irracionales) por medio de fracciones continuas. En 1613, Cataldi las estudió. En 1572, Bombelli aproximó las raíces cuadradas por medio de fracciones continuas, y en 1658, Brouncker desarrolló 4 π en fracción continua infinita. El primer estudio sistemático sobre las mismas se debe al famoso matemático Euler, que lo realizó en 1837. 33- La primera discusión sistemática sobre las fracciones decimales, se debe a Simón Stevin (1548-1620), de Brujas. En 1585 apareció publicada en Leyden su famosa obra “La Thiende”. Esta obra fue dada a conocer por Robert Norton, en una traducción inglesa editada en Londres en 1608, bajo el título de “La Disme” o “ The Art of Tenths or Decimall Arithmetike”. Pronto fueron adoptados los decimales. 34- Al inventar Simón Stevin las fracciones decimales introdujo para expresarlas un cero dentro de un circulo. Este procedimiento resultaba muy engorroso. En 1616, al publicar su obra sobre los logaritmos, Neper, Napier o Napair, dio a conocer el uso del punto decimal que se usa hoy para separar las cifras enteras de las decimales. En algunos países este punto decimal se sustituye por una coma. 35- Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y cubos. Diofanto, siglo III (D. C.), ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx, xxx, etc., para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650), introdujo la notación x, xx, x³, etc. 36- La palabra raíz viene del latín radix, radicis; pero es indudable que los árabes conocían la radicación que habían tomado de los hindúes. Es decir, que la radicación era conocida mucho antes de que los romanos inventaran una palabra para nombrarla. Los árabes la designaban con la palabra gidr, una traducción de la palabra sánscrita mula, que significa vegetal y también raíz cuadrada de un número. 37- Se ignora quien haya descubierto los números irracionales; pero, en cambio se sabe que los pitagóricos hacia fines del siglo V (A. C.) en Grecia, conocían la irracionalidad del radical √2 39- Se da por seguro que fueron los hindúes los primeros en hallar las reglas para la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas. Resulta curioso conocer la terminología que ellos empleaban. Para la raíz tenían el vocablo sánscrito mula, que además quiere decir vegetal, al cual añadían varga o ghana, y formaban las expresiones varga mula o ghana mula, que significaba raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente. 40- El primero que propuso un sistema decimal para las medidas fue el matemático flamenco Simón Stevin. Transcurrieron dos siglos hasta que en 1790, Talleyrand llamó la atención de la Asamblea Nacional Francesa para que buscara un sistema uniforme de medidas. Después de designar una comisión de cinco miembros para realizar los estudios necesarios, la Asamblea adoptó el Sistema Métrico Decimal. 41- La determinación de la densidad de los cuerpos es una consecuencia del Principio de Arquímedes, célebre físico y matemático griego del siglo III, antes de Jesucristo (287-212 A. C.). Lefevre-Gineau y Giovanni Valentino Matías Fabroni, que investigaba el valor del gramo, descubrieron incidentalmente que el mínimo volumen del agua destilada se produce a los 4 grados C., que se toma como unidad. 42- Contar y medir son las primeras actividades matemáticas del hombre. Los primitivos para medir el largo de una cosa cualquiera, utilizaban medidas basadas en el cuerpo humano. Los egipcios, quienes llegaron a poseer un sistema de medidas bastante aceptable, emplearon las proporciones del cuerpo humano para establecer las primeras unidades de medida. Así surgió el palmo, el pie, el cúbito, etc. 43- La geometría como ciencia empírica surgió en Egipto. Como ciencia teórica es exclusiva de los griegos. Euclides, un griego, le dio la estructura teórica que ha tenido hasta el nacimiento de la geometría no euclidiana. En un documento descubierto en 1930, está el trabajo de un geómetra egipcio que en 1850 A. C., dio la fórmula 1/3 h (a² – ab + b²), para el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. 44- Los números complejos o denominados- que no deben confundirse con los números complejos de las matemáticas superiores -, tienen su origen en los sistemas de medidas. Los babilonios dividieron el círculo en grados y minutos. Establecieron también la división en años , meses, días, horas, minutos y segundos, basándose en su sistema sexagesimal de numeración. Los romanos aportaron la pulgada. 45- Los antiguos tropezaban con muchas dificultades para determinar la longitud. En el siglo II D. C., Ptolomeo estableció la longitud aproximada de cinco o seis ciudades, tomando como referencia a Alejandría. El descubrimiento del sextante permitió a los marinos determinar la longitud exacta durante la navegación. A fines del siglo XVII, y partiendo de los descubrimientos de Galileo, el holandés Huygens construyó los primeros relojes de péndulo, de gran precisión. 46- Los griegos tuvieron un concepto teórico de las proporciones. La aplicación práctica del conocimiento de las proporciones se la debemos a los matemáticos italianos del Renacimiento. Regiomontano y Lucas Pacioli (Fray Lucas de Burgos) divulgaron considerablemente el empleo de las proporciones en sus leídas obras, específicamente este último, que ha pasado a la historia como el inventor de la contabilidad por partida doble. 47- Las razones y proporciones se conocen desde antiguo. Euclides, expone en el libro V de sus “ Elementos”, la teoría de las proporciones debida a Eudoxio. Los romanos le daban a cada proporción un nombre. En el siglo XV(D. C.), Al-Kalsadi, empleó en su aritmética el signo ... para indicar las proporciones. En 1537, Nicolás de Brescia (conocido por Tartaglia), escribió las proporciones así: 6//3//8//4. 48- En la evolución del concepto de función ejercieron una influencia decisiva Fourier (francés, 1758-1830), Cauchy (francés, 1789-1857), y Dirichlet (alemán, 1805-1859). Todos los trabajos de estos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría de las funciones. Sin embargo, fue Riemann( alemán, 1826-1866), en su tesis de 1851, quien echó las bases de la actual teoría de las funciones. 49- Aunque griegos y romanos conocían las proporciones no llegaron a aplicarlas a la resolución de los problemas de Regla de Tres. En la Edad Media los árabes dieron a conocer la Regla de Tres. Leonardo de Pisa la difundió a principios del siglo XIII, en su “Liber Abacis”, con el nombre de Regla de los Tres Números Conocidos; Regla de los Mercaderes; Regla Aurea; y también con el de Regla de los Traficantes. 50- El Tanto por Ciento aparece en las principales obras de Aritmética de los escritores italianos del siglo XV. El signo del Tanto por Ciento (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de ciento( Cto.), que se empleaba en las operaciones mercantiles. El primero que utilizó el signo tal como lo usamos hoy fue Delaporte, que en 1685 lo expuso en su libro “ Le Guide des Negotien”, (Guía del Comerciante). 51- El origen del préstamo con interés (usura)es remoto. Los prestamistas de la Edad Media cobraban a los particulares hasta un 43% anual; en las operaciones comerciales el tipo de interés fluctuaba entre un12% y un 24% anual. Al fundarse lo que puede ser llamado el primer banco en el sentido moderno, en 1407, la “ Casa de San Giorgio”, en Génova, el interés bajó a un 10% y menos. 52- El origen de la Letra de Cambio puede ubicarse en las Ferias de Flandes y Champaña. Surge al hacerse más complejas las operaciones mercantiles. Hacia el siglo XII se establece la práctica de pagar, mediante promesa escrita, una cantidad en un lugar distinto de aquel en que se contrae la deuda. El pago se podía hacer al nuntius (representante) del acreedor, o hacerlo mediante un representante del deudor. 53- Los pueblos más civilizados de América, tales como el azteca, maya e inca, alcanzaron un considerable desarrollo en las ciencias matemáticas, como podemos ver a través de su sistema de numeración. Resulta indudable que ellos aplicaron una regla rudimentaria para el repartimiento proporcional, al tener que resolver los problemas de distribución de los productos agrícolas entre los miembros de las tribus. 54- Las primeras compañías se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos (sociedades en commenda) de Venecia, Génova y Pisa a partir del siglo IX. Un italiano, Leonardo de Pisa, tomó la regla para resolver los problemas de reparticiones de las ganancias o pérdidas de las compañías, de la Aritmética Comercial que se atribuye a Abul ‘l Wefa, de Bagdad (940-998 D. C.). 55- El promedio y la probabilidad son las bases de la ciencia actuarial moderna. Se da por un hecho histórico irrefutable que la Estadística en su concepto más reciente, debe su origen al juego de azar. Cuéntase que estando Pascal en una taberna, Antonio Gombaud, caballero de Meré, le propuso un problema basado en el juego de dados. Pascal le dio solución, fundando en 1654 la Teoría de las Probabilidades. 56- Griegos y romanos conocían la Regla de Aligación, que usaban en su constante comercio de vinos con los fenicios. Los escritores italianos del siglo XV, dieron a conocer en sus aritméticas comerciales, numerosos problemas de mezcla y aligación que habían tomado de los griegos y romanos. Entre 28 reglas que expone Tartaglia, en su Aritmética Comercial de 1556, incluye la Regla de Mezcla o Aligación. 57- La aleación más antigua que se conoce es el bronce. Toda una etapa de la prehistoria se caracteriza por este descubrimiento del hombre, es decir, la aleación del cobre con el estaño. La producción de las minas explotadas por los fenicios junto al Mar Rojo era entregada al Rey Salomón, a cambio de oro, perfumes y especias. 58- Desde muy antiguo la emisión de monedas se hacia para conmemorar algún hecho histórico o para rendir homenaje a algún gran personaje. La decadrachma (moneda griega) data del 480 A. C. y se emitió para celebrar la derrota de los cartagineses a manos de los griegos en la famosa batalla de Himera. La moneda era de plata y tenia una figura alegórica rodeada de peces. Poseía un valor de diez drachmas. 59- Las primeras operaciones mercantiles se hacían como simple trueque de mercancías. En plena Edad Media existían mercados adonde concurrían traficantes de todas las latitudes. En el siglo XI, fue famoso como mercado de trueques, en Bizancio, Karim-Erzerum, donde se daban cita los mercaderes del norte de Europa, los de China, los de la India, etc. Tales trueques se resolvían por medio de la Regla Conjunta. 60- El primer tipo de seguro en gran escala que se practicó fue el seguro marítimo. La organización mas poderosa de seguros que existe en el mundo se conoce como el Lloyd. Debe su nombre a que los primeros aseguradores se reunían en un cafetín de Londres, propiedad de Eduardo Lloyd. A mediados del siglo XVII, este cafetín de Lloyd se convirtió en una verdadera bolsa de seguros de todas clases. Preparado por : PROFA. ADELA DE CORO Tomado del libro Aritmética – Teórico Práctica del Dr. Aurelio Baldor. Edición 1962. Cultural Centroamericana, S.A. Guatemala. http://www.pucpr.edu/facultad/ajunco/HIST.%20aritm..htm
Matemáticas para la formación de ciudadanos críticos probabilidades y perímetros. Pero también para incentivar laabstracción a fin de facilitar el razonamiento, desarrollar la argumentación, iniciar a la prueba”. Acerca de los propósitos de las matemáticas en el programa del bachillerato tecnológico, seenuncian once puntos que hacen referencia al manejo y aplicación de habilidades matemáticas en la resolución de problemas, en la comprensión el mundo físico,en la construcción de inferencias, entre otros. Además de ayudarnos a entender la naturaleza axiomática de la matemática, los fenómenos físicos que nos rodean, a construir modelos, a desarrollar aplicaciones, etcétera ¿La educación matemática puede jugar un papel en la construcción de una sociedad democrática con ciudadanos más críticos? Varios matemáticos educativos (investigadores en didáctica de las matemáticas) afirman que sí. Tomemos el ejemplo de Dinamarca, lugar donde realizo mis estudios doctorales y desde donde escribo este artículo. El Doctor Mogens Niss de la Universidad de Roskilde, en su papelde responsable matemático del informe PISA de la OCDE, declaró en mayo del 2005en entrevista publicada en el diario españolLa Vanguardia: “Recuerdeque la democracia es una broma si los ciudadanos son analfabetos enmatemáticas. La política no son palabras, son números y, al final, sólo se puede juzgar en los números. El ciudadano que no entiende los presupuestos públicos es pasto de la verborrea de los políticos” Los investigadores daneses Helle Alrø y Ole Skovsmose en su libro Dialogue and Learning in Mathematics Education sostienen una postura compatible con la opinión del doctor Niss:“Para que una sociedad sea una democracia en buen funcionamiento es importante que todos puedan leer y escribir…El alfabetismo matemático [Mathemacy] es relevante para la democracia y para el desarrollo de una ciudadanía de la misma manera que lo es el alfabetismo…apoya una lectura crítica de nuestro ambiente social y político…”. Trataré de ilustrar con un ejemplo local las anteriores afirmaciones. En el Plan Nacional de Desarrollo que se encuentra en la página web de la Presidencia de la República de México (http://pnd.calderon.presidencia.gob.mx/), dentro del eje titulado „Economía competitiva y generadora de empleos‟ se diagnostica lo siguiente: “En ausencia de cambios importantes, el crecimiento de la economía mexicana será,en promedio, de alrededor de 3.5 % por año, lo que implica un incremento per cápita cercano a 2.4%. De mantenerse esta situación, tomaría 30 años duplicar el nivel de ingreso por habitante” Este diagnóstico se complementa con un gráfico estadístico que muestra el comportamiento del producto interno bruto per cápita, de diferentes países (incluyendo a México), a través de los últimos catorce años. Pero, ¿Cómo se lee el gráfico? ¿Cómo es la situación de México (mejor, peor) respecto a los demás países incluidos en la gráfica? ¿Cómo, a partirde los datos proporcionados, se concluye que tardará 30 años duplicar el nivelde ingreso por habitante? Evidentemente se necesita poseer un cierto nivel deeducación matemática, para poder entender ese mensaje, y para poder emitir un comentario o una crítica al respecto. Desafortunadamentela importancia de las matemáticas en la formación de ciudadanos críticos no es reconocida por gran parte de las instituciones educativas y de la sociedad engeneral en México: Prácticamente es nula la existencia de diseños didácticos (ni siquiera a nivel experimental) donde los niños y jóvenes estudien a lamatemática y su relación con la conciencia política, la ética y la toma dedecisiones; asimismo el estatus social de la matemática no es el mismo que elde otras ramas del conocimiento, por ejemplo, si un político mexicanodesconociera quién fue Benito Juárez sin duda se le señalaría de ignorante por sus adversarios, pero si ese mismo político ignorara la manera de resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2, probablemente la crítica no tendría lamisma intensidad. Es responsabilidad las instituciones y de todos los ciudadanos, esforzarnos por cambiar el estatus, la visión que se tiene de, y el uso que se hace de laeducación matemática en nuestro país. * Maestro en ciencias, especialidad enmatemáticas educativas por el Cinvestav. Actualmente es candidato al doctoradoen la Universidad de Roskilde, Dinamarca. http://ciencias.jornada.com.mx/investigacion/ciencias-fisico-matematicas/investigacion/mat NOTAS SOBRE LA HISTORIA DE LA ARITMÉTICA 1- CONCEPTOS DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMITIVOS (25,000- 5,000 A. C.). Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética. 2- Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasías de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A’h-mose) copió en 1650 A. C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico. 3- En una ilustración basada en un friso asirio, aparece Assurbanipal (Surdanápalo) guiando a sus soldados en una batalla. Los pueblos mesopotámicos representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo con su escritura cuneiforme; así, una marca para el uno; dos para el dos, hasta el nueve. Para el diez, cien, etc., usaban signos convencionales. 4- Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del sigloVIII (D.C.). Por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas. 5- Aunque los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas; por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En el siglo XVII, Leibnitz descubrió la numeración de base binaria, y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración. 6- La contribución de los romanos a las Matemáticas estuvo limitada a varias nociones de Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir y fijar las fronteras del vasto imperio. No obstante, la huella romana se observa todavía hoy a través de su numeración, que ha sido fijada por el uso, en los capítulos de los libros; en la sucesión de los reyes; en la notación de los siglos; y, especialmente, en las inscripciones históricas. 7- El problema de las igualdades no fue conocido por los antiguos en su forma aritmética. El primero que utilizó el signo igual (=), y expuso algunas cuestiones teóricas sobre las igualdades fue Robert Recorde, en su obra “The Ground of Arts”, publicada en Londres en 1542. Más tarde, en el año XVII, el inglés Harriot y el francés Bouguer establecieron el uso de los signos mayor que (>) y menor que (<). 8- La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban contando hasta formar el llamado quipo. 9- El signo más antiguo para indicar la resta lo encontramos en el famoso papiro de Rhind, tal como lo escribían los egipcios (۸). Se cuenta que los signos actuales de suma y resta se deben a que los mercaderes antiguos iban haciendo unas marcas en los bultos de mercancías. Cuando pesaban los sacos les ponían un signo más (+) o un signo (-), según tuviera mayor o menor cantidad de la estipulada. 10- El espíritu práctico que animaba a los romanos no les permitió hacer grandes progresos en los problemas teóricos de las ciencias matemáticas. Esto se comprende mejor aún, si se piensa en las deficiencias de su sistema de numeración, que crearon siguiendo la huella de los griegos. Los hindúes llegaron a cuestiones más abstractas, tal como se puede apreciar en el manuscrito Bakhshali que data del siglo VII ( D.C.). 11- El complemento aritmético, que es una consecuencia del carácter decimal de nuestro sistema de numeración ha sido empleado como procedimiento auxiliar para la resolución de las operaciones de sumar y restar, y también para resolver las operaciones combinadas de suma y resta. Tiene poco uso. 12- La operación de multiplicar resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajosa, debido a su notación numeral. El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647. 13- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios. Antes del uso del ábaco (suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi. La obra más antigua que se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior. 14- Babilumeral. El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647. 15- 16- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios. Antes del uso del ábaco (suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi. La obra más antigua que se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior. 17- 18- Babilos matemáticos tuvieran que pasar muchas vicisitudes desde el uso del rudimentario ábaco, hasta las más modernas representaciones de las operaciones indicadas. El empleo de la raya horizontal entre los números para indicar la división, se debe a Leonardo de Pisa( Fibonaci, hijo de Bonaci), que la tomó de los textos árabes. 19- A partir de los trabajos de interpretación de la escritura cuneiforme en 1929 por O. Neugebauer, se ha puesto de relieve la contribución babilónica al progreso de las matemáticas. En las tablillas y puestas en lenguas modernas, y que datan de 2000- 1200 A. C., aparecen infinidad de problemas resueltos de modo ingenioso. Estos problemas tuvieron su origen en la activa vida comercial del puesto babilónico. 20- De unas tablillas encontradas en las orillas del Eufrates, se deduce que los primeros que aplicaron la elevación a potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación sin necesidad de recurrir al ábaco, pues empleaban la tabla de cuadrados, al basarse en el principio que dice “el producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”. 21- Hacia el siglo III (A. C.), los griegos alcanzaron un elevado grado de abstracción en las ciencias matemáticas. La misma palabra Aritmética es de origen griego. Para ellos, esta ciencia era una rigurosa teoría de los números. Sus investigaciones los llevaron muy pronto al concepto de número primo, de donde partió Eratóstenes para descubrir su curioso método de determinación de los números primos en la serie natural. 22- Los principios generales de divisibilidad son una consecuencia del desarrollo que había alcanzado la teoría de los números. Los hindúes, por ejemplo, llegaron a conocer la divisibilidad por tres, nueve y siete. Griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares o impares. El genial matemático francés Blas Pascal (1623- 1662), propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número. 23- Euclides, hacia el 300 A. C., demostró en sus “Elementos”, los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros, lo que permite a Gauss en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética. Más tarde, alrededor de 1875, el matemático alemán Dedekind (1831- 1916), llevó a cabo la generalización de los caracteres de divisibilidad, extendiéndolos a los números racionales y a los ideales. ( o imaginarios). 24- Al descubrir Euclides la infinitud de la serie de los números primos, alcanzó su máximo desarrollo la teoría de los números entre los griegos. No se volvieron a hacer progresos en este campo, hasta que Fermat, en 1630-65, propuso su teorema sobre los exponentes primos. L. S. Dickson afirma en su “History of theory of numbers” que los chinos ya conocían este problema en el 500 A. C., cuando el número era dos. 25- Con los trabajos de Fermat (1601-65), Euler (1707-1783) y Gauss (1777- 1855) sobre la teoría de los números, se echaron las bases de la Aritmética moderna o superior. En 1850, Tchebycheff realizó un notable progreso sobre los números primos. En 1932, el francés Landau, completó el trabajo de aquel sobre la distribución de los números primos, demostrando lo que el inglés Hardy llamó teorema de Tauber. 26- En el siglo IV (A. C.), Euclides, un genial griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época. Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX y X de sus “Elementos”. Entre los curiosos datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método de resolución del Máximo Común Divisor (M.C.D.), que hoy llamamos de divisiones sucesivas. 27- No se olvidó Euclides en sus “Elementos”, de ofrecer un método para la resolución del Mínimo Común Múltiplo ( M. C. M.), de dos números. Para resolver el M. C. M., Euclides propuso la siguiente regla: “El producto de dos números dividido entre el M. C. D. de ambos números, da el Mínimo Común Múltiplo”. Como se ve este procedimiento resultaba más trabajoso que el que utilizamos en la actualidad. 28- El origen de las fracciones comunes o quebrados es muy remoto. Los babilonios, egipcios y griegos han dejado pruebas de que conocían las fracciones. Cuando Juan de Luna tradujo al latín, en el siglo XII, la Aritmética de Al-Juarizmi, empleó fractio para traducir la palabra árabe al-kasr, que significa quebrar, romper. Este uso se generalizó junto con la forma ruptus, que prefería Leonardo de Pisa. 29- Los números fraccionarios tuvieron su origen en las medidas. Los babilonios utilizaban como único denominador el sesenta. Los egipcios empleaban la unidad como numerador; para representar 7/8, escribían, ½, ¼, 1/8. Los griegos marcaban el numerador con un acento y el denominador con dos; o colocaban al denominador como un exponente. Hiparco introdujo las fracciones babilónicas en la Astronomía griega. 30- Las reglas para la resolución de las operaciones con números fraccionarios o quebrados, datan de la época de Aryabhata, siglo VI y Bramagupta, siglo VII, ambos después de Jesucristo. Un estudio más amplio y sistemático de las operaciones con quebrados lo ofrecieron los también hindúes, Mahavira, en el sigloIX y Bháskara en el siglo XII. Dichas reglas son las mismas que se emplean actualmente. 31- En las numerosas inscripciones egipcias descifradas se encuentran variadísimos problemas con números fraccionarios. Con su peculiar sistema de fracciones con la unidad como numerador, resolvían los problemas de la vida diaria, tales como la distribución del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides, etcétera. Algunos de los problemas presentados en el papiro de Ahmes tienen todavía actualidad. 32- Los pitagóricos aproximaban las raíces cuadradas inexactas (números irracionales) por medio de fracciones continuas. En 1613, Cataldi las estudió. En 1572, Bombelli aproximó las raíces cuadradas por medio de fracciones continuas, y en 1658, Brouncker desarrolló 4 π en fracción continua infinita. El primer estudio sistemático sobre las mismas se debe al famoso matemático Euler, que lo realizó en 1837. 33- La primera discusión sistemática sobre las fracciones decimales, se debe a Simón Stevin (1548-1620), de Brujas. En 1585 apareció publicada en Leyden su famosa obra “La Thiende”. Esta obra fue dada a conocer por Robert Norton, en una traducción inglesa editada en Londres en 1608, bajo el título de “La Disme” o “ The Art of Tenths or Decimall Arithmetike”. Pronto fueron adoptados los decimales. 34- Al inventar Simón Stevin las fracciones decimales introdujo para expresarlas un cero dentro de un circulo. Este procedimiento resultaba muy engorroso. En 1616, al publicar su obra sobre los logaritmos, Neper, Napier o Napair, dio a conocer el uso del punto decimal que se usa hoy para separar las cifras enteras de las decimales. En algunos países este punto decimal se sustituye por una coma. 35- Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y cubos. Diofanto, siglo III (D. C.), ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx, xxx, etc., para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650), introdujo la notación x, xx, x³, etc. 36- La palabra raíz viene del latín radix, radicis; pero es indudable que los árabes conocían la radicación que habían tomado de los hindúes. Es decir, que la radicación era conocida mucho antes de que los romanos inventaran una palabra para nombrarla. Los árabes la designaban con la palabra gidr, una traducción de la palabra sánscrita mula, que significa vegetal y también raíz cuadrada de un número. 37- Se ignora quien haya descubierto los números irracionales; pero, en cambio se sabe que los pitagóricos hacia fines del siglo V (A. C.) en Grecia, conocían la irracionalidad del radical √2 39- Se da por seguro que fueron los hindúes los primeros en hallar las reglas para la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas. Resulta curioso conocer la terminología que ellos empleaban. Para la raíz tenían el vocablo sánscrito mula, que además quiere decir vegetal, al cual añadían varga o ghana, y formaban las expresiones varga mula o ghana mula, que significaba raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente. 40- El primero que propuso un sistema decimal para las medidas fue el matemático flamenco Simón Stevin. Transcurrieron dos siglos hasta que en 1790, Talleyrand llamó la atención de la Asamblea Nacional Francesa para que buscara un sistema uniforme de medidas. Después de designar una comisión de cinco miembros para realizar los estudios necesarios, la Asamblea adoptó el Sistema Métrico Decimal. 41- La determinación de la densidad de los cuerpos es una consecuencia del Principio de Arquímedes, célebre físico y matemático griego del siglo III, antes de Jesucristo (287-212 A. C.). Lefevre-Gineau y Giovanni Valentino Matías Fabroni, que investigaba el valor del gramo, descubrieron incidentalmente que el mínimo volumen del agua destilada se produce a los 4 grados C., que se toma como unidad. 42- Contar y medir son las primeras actividades matemáticas del hombre. Los primitivos para medir el largo de una cosa cualquiera, utilizaban medidas basadas en el cuerpo humano. Los egipcios, quienes llegaron a poseer un sistema de medidas bastante aceptable, emplearon las proporciones del cuerpo humano para establecer las primeras unidades de medida. Así surgió el palmo, el pie, el cúbito, etc. 43- La geometría como ciencia empírica surgió en Egipto. Como ciencia teórica es exclusiva de los griegos. Euclides, un griego, le dio la estructura teórica que ha tenido hasta el nacimiento de la geometría no euclidiana. En un documento descubierto en 1930, está el trabajo de un geómetra egipcio que en 1850 A. C., dio la fórmula 1/3 h (a² – ab + b²), para el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. 44- Los números complejos o denominados- que no deben confundirse con los números complejos de las matemáticas superiores -, tienen su origen en los sistemas de medidas. Los babilonios dividieron el círculo en grados y minutos. Establecieron también la división en años , meses, días, horas, minutos y segundos, basándose en su sistema sexagesimal de numeración. Los romanos aportaron la pulgada. 45- Los antiguos tropezaban con muchas dificultades para determinar la longitud. En el siglo II D. C., Ptolomeo estableció la longitud aproximada de cinco o seis ciudades, tomando como referencia a Alejandría. El descubrimiento del sextante permitió a los marinos determinar la longitud exacta durante la navegación. A fines del siglo XVII, y partiendo de los descubrimientos de Galileo, el holandés Huygens construyó los primeros relojes de péndulo, de gran precisión. 46- Los griegos tuvieron un concepto teórico de las proporciones. La aplicación práctica del conocimiento de las proporciones se la debemos a los matemáticos italianos del Renacimiento. Regiomontano y Lucas Pacioli (Fray Lucas de Burgos) divulgaron considerablemente el empleo de las proporciones en sus leídas obras, específicamente este último, que ha pasado a la historia como el inventor de la contabilidad por partida doble. 47- Las razones y proporciones se conocen desde antiguo. Euclides, expone en el libro V de sus “ Elementos”, la teoría de las proporciones debida a Eudoxio. Los romanos le daban a cada proporción un nombre. En el siglo XV(D. C.), Al-Kalsadi, empleó en su aritmética el signo ... para indicar las proporciones. En 1537, Nicolás de Brescia (conocido por Tartaglia), escribió las proporciones así: 6//3//8//4. 48- En la evolución del concepto de función ejercieron una influencia decisiva Fourier (francés, 1758-1830), Cauchy (francés, 1789-1857), y Dirichlet (alemán, 1805-1859). Todos los trabajos de estos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría de las funciones. Sin embargo, fue Riemann( alemán, 1826-1866), en su tesis de 1851, quien echó las bases de la actual teoría de las funciones. 49- Aunque griegos y romanos conocían las proporciones no llegaron a aplicarlas a la resolución de los problemas de Regla de Tres. En la Edad Media los árabes dieron a conocer la Regla de Tres. Leonardo de Pisa la difundió a principios del siglo XIII, en su “Liber Abacis”, con el nombre de Regla de los Tres Números Conocidos; Regla de los Mercaderes; Regla Aurea; y también con el de Regla de los Traficantes. 50- El Tanto por Ciento aparece en las principales obras de Aritmética de los escritores italianos del siglo XV. El signo del Tanto por Ciento (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de ciento( Cto.), que se empleaba en las operaciones mercantiles. El primero que utilizó el signo tal como lo usamos hoy fue Delaporte, que en 1685 lo expuso en su libro “ Le Guide des Negotien”, (Guía del Comerciante). 51- El origen del préstamo con interés (usura)es remoto. Los prestamistas de la Edad Media cobraban a los particulares hasta un 43% anual; en las operaciones comerciales el tipo de interés fluctuaba entre un12% y un 24% anual. Al fundarse lo que puede ser llamado el primer banco en el sentido moderno, en 1407, la “ Casa de San Giorgio”, en Génova, el interés bajó a un 10% y menos. 52- El origen de la Letra de Cambio puede ubicarse en las Ferias de Flandes y Champaña. Surge al hacerse más complejas las operaciones mercantiles. Hacia el siglo XII se establece la práctica de pagar, mediante promesa escrita, una cantidad en un lugar distinto de aquel en que se contrae la deuda. El pago se podía hacer al nuntius (representante) del acreedor, o hacerlo mediante un representante del deudor. 53- Los pueblos más civilizados de América, tales como el azteca, maya e inca, alcanzaron un considerable desarrollo en las ciencias matemáticas, como podemos ver a través de su sistema de numeración. Resulta indudable que ellos aplicaron una regla rudimentaria para el repartimiento proporcional, al tener que resolver los problemas de distribución de los productos agrícolas entre los miembros de las tribus. 54- Las primeras compañías se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos (sociedades en commenda) de Venecia, Génova y Pisa a partir del siglo IX. Un italiano, Leonardo de Pisa, tomó la regla para resolver los problemas de reparticiones de las ganancias o pérdidas de las compañías, de la Aritmética Comercial que se atribuye a Abul ‘l Wefa, de Bagdad (940-998 D. C.). 55- El promedio y la probabilidad son las bases de la ciencia actuarial moderna. Se da por un hecho histórico irrefutable que la Estadística en su concepto más reciente, debe su origen al juego de azar. Cuéntase que estando Pascal en una taberna, Antonio Gombaud, caballero de Meré, le propuso un problema basado en el juego de dados. Pascal le dio solución, fundando en 1654 la Teoría de las Probabilidades. 56- Griegos y romanos conocían la Regla de Aligación, que usaban en su constante comercio de vinos con los fenicios. Los escritores italianos del siglo XV, dieron a conocer en sus aritméticas comerciales, numerosos problemas de mezcla y aligación que habían tomado de los griegos y romanos. Entre 28 reglas que expone Tartaglia, en su Aritmética Comercial de 1556, incluye la Regla de Mezcla o Aligación. 57- La aleación más antigua que se conoce es el bronce. Toda una etapa de la prehistoria se caracteriza por este descubrimiento del hombre, es decir, la aleación del cobre con el estaño. La producción de las minas explotadas por los fenicios junto al Mar Rojo era entregada al Rey Salomón, a cambio de oro, perfumes y especias. 58- Desde muy antiguo la emisión de monedas se hacia para conmemorar algún hecho histórico o para rendir homenaje a algún gran personaje. La decadrachma (moneda griega) data del 480 A. C. y se emitió para celebrar la derrota de los cartagineses a manos de los griegos en la famosa batalla de Himera. La moneda era de plata y tenia una figura alegórica rodeada de peces. Poseía un valor de diez drachmas. 59- Las primeras operaciones mercantiles se hacían como simple trueque de mercancías. En plena Edad Media existían mercados adonde concurrían traficantes de todas las latitudes. En el siglo XI, fue famoso como mercado de trueques, en Bizancio, Karim-Erzerum, donde se daban cita los mercaderes del norte de Europa, los de China, los de la India, etc. Tales trueques se resolvían por medio de la Regla Conjunta. 60- El primer tipo de seguro en gran escala que se practicó fue el seguro marítimo. La organización mas poderosa de seguros que existe en el mundo se conoce como el Lloyd. Debe su nombre a que los primeros aseguradores se reunían en un cafetín de Londres, propiedad de Eduardo Lloyd. A mediados del siglo XVII, este cafetín de Lloyd se convirtió en una verdadera bolsa de seguros de todas clases. Preparado por : PROFA. ADELA DE CORO Tomado del libro Aritmética – Teórico Práctica del Dr. Aurelio Baldor. Edición 1962. Cultural Centroamericana, S.A. Guatemala. http://www.pucpr.edu/facultad/ajunco/HIST.%20aritm..htm
viernes, 31 de mayo de 2019
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viernes, 26 de abril de 2019
Washinton Campos Caballero
En las redes sociales se encuentra como "WASHI de Perú" o " Prof. Washi de Perú".
Nació el 01 de junio del año 1996 en el distrito de Jacas Grande-Huamalíes-Huánuco. Último de nueve hermanos e hijo de Vicente Campos Cierto y Alejandra Caballero Raymundo. El año 2003, a la edad de 7 años empezó a estudiar: el nivel primario o educación primaria, en la Institución Educativa pública N° 32400 de Jacas Grande; seis años más tarde(2009) pasó al nivel secundario, el primer año estudió en la Institución Educativa pública “Marino Adrián Meza Rosales” y luego se trasladó a la Institución Educativa pública “Maglorio Rafael Padilla Caqui” del distrito de Puños-HuamalíesHuánuco, donde terminó sus estudios de Eduación Básica Regular, satisfactoriamente, obteniendo diploma de primer puesto, un reconocimiento en mérito a su buen desempeño académico.
Durante el periodo 2016-2020, estudió la Carrera Profesional de Matemática y Física
en la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán. Desde el año 2022 hasta la actualidad trabaja como docente del área de matemática del nivel "secundaria", para es estado peruano.
viernes, 12 de abril de 2019
LA FÍSICA CUÁNTICA
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| -WASHINTON- |
No podemos observarlos directamente, pero el comportamiento de átomos, quarks, fotones y todo aquello que compone la realidad a una escala nanométrica o menor confirma que aún no sabemos gran cosa del universo. La teoría cuántica –que describe estas diminutas partículas– dejó de ser una rareza antes confinada al laboratorio; ahora invade nuestras vidas y se encuentra en el teléfono inteligente que llevamos en nuestro bolsillo, y hasta en el número de la tarjeta de crédito que usamos para comprar por internet. La “cuántica” aparece cada vez más en términos como “sanación cuántica” y “políticas cuánticas”. Cuántico se ha convertido en una palabra de moda. Cualquier relevancia científica en estos usos es puramente accidental; sin embargo, esto ilustra que lo “cuántico” posee una mística más allá de lo científico.
A pesar de que la mecánica cuántica surgió para resolver un problema científico, más de un siglo después aún guarda algo de misterio. La física cuántica predice comportamientos paradójicos o increíbles. Por ejemplo, una partícula cuántica no posee solo un valor de una cantidad física, sino todos los valores al mismo tiempo, algo que se llama superposición; dos partículas cuánticas pueden permanecer ligadas o “entrelazadas”, aun a distancias ilimitadas y sin ninguna conexión física de por medio; y se pueden teletransportar a través del espacio vacío.
Los saltos cuánticos pueden encontrarse en tu bar favorito y en el supermercado local
En 2011, el físico austríaco Anton Zeilinger aplicó un cuestionario con 16 preguntas de opción múltiple a más de 30 especialistas en teoría cuántica, acerca de sus conceptos básicos y su interpretación. Ninguna de las posibles respuestas recibió apoyo unánime, pues muchas de las preguntas provocaron un amplio rango de opiniones. Según el investigador Charles Clark, codirector del Joint Quantum Institute en la Universidad de Maryland, sería “un gran tema ubicar dónde está el problema” que hace que la teoría cuántica sea tan difícil de interpretar. En parte, esto se debe a que es muy abstracta, por mor de la pequeñez de lo que describe. Cuando pateamos un balón, obtenemos conocimiento empírico de cómo funciona el mundo a una escala humana. Pero no podemos patear un quark o aventar un fotón; solo podemos describir estas partículas con ayuda de la teoría cuántica.
Una idea desesperada
Cuando Max Planck inventó la teoría cuántica en 1900, pensó que solo era un truco matemático. Pero su “truco” explicaba por qué los físicos de la época no podían responder a esta pregunta: “¿Cuál es la naturaleza de la luz emitida por una llama o cualquier otro cuerpo caliente?” Sabían que la luz era una onda electromagnéticagenerada por partículas cargadas eléctricamente, como los electrones, pero el problema era que los cálculos que usaban para aplicar esta teoría contradecían los resultados del laboratorio del espectro de luz generado por objetos calientes.
Cuando Max Planck inventó la teoría cuántica en 1900, pensó que solo era un truco matemático. Pero su “truco” explicaba por qué los físicos de la época no podían responder a esta pregunta: “¿Cuál es la naturaleza de la luz emitida por una llama o cualquier otro cuerpo caliente?” Sabían que la luz era una onda electromagnéticagenerada por partículas cargadas eléctricamente, como los electrones, pero el problema era que los cálculos que usaban para aplicar esta teoría contradecían los resultados del laboratorio del espectro de luz generado por objetos calientes.
Planck probó varias soluciones para resolver el problema antes de dar con la idea de que la luz es emitida por medio de energías “cuánticas”, múltiplos exactos de cierta cantidad mínima, o “cuanto”. A esto lo llamó “un acto de desesperación”, pero produjo el espectro correcto de luz de un cuerpo caliente y eso le valió el Premio Nobel en 1918. Después, Albert Einstein y Niels Bohr obtuvieron sus propios premios Nobel al extender el trabajo de Planck. Einstein mostró que la luz viene en discretos paquetes de energía, luego llamados fotones, y Bohr planteó que los electrones en un átomo absorben o emiten fotones al tiempo que brincan entre niveles de energía cuántica.
Fue asombroso encontrar que el mundo operaba de esta extraña manera. Ahora se sabe que los saltos cuánticos y todo lo demás son reales. Pero, ¿por qué la humanidad no notó los “cuantos” hasta 1900? Porque hablamos de una cantidad de energía muy pequeña. Incluso el febril brillo de una vela representa un torrente de fotones (trillones por segundo). La luz que irradia una fuente es como arena derramándose de un cubo; parece ser una corriente continua, pero en realidad es una multitud de diminutos granos perdidos dentro del flujo mayor. De forma similar, los saltos cuánticos en los átomos son cambios extremadamente pequeños en la energía, aunque el uso popular de “saltos cuánticos” con frecuencia hace referencia, incorrectamente, a grandes cambios.
Saltos cuánticos reales
Pueden encontrarse en tu bar favorito o en el supermercado local. Siempre que veas brillar el anuncio luminoso de alguna cerveza o el escáner de un código de barras, mira detenidamente: estás observando saltos cuánticos eléctricos en acción a través de sus huellas dactilares, la emisión de la luz, como Niels Bohr determinó.
Pueden encontrarse en tu bar favorito o en el supermercado local. Siempre que veas brillar el anuncio luminoso de alguna cerveza o el escáner de un código de barras, mira detenidamente: estás observando saltos cuánticos eléctricos en acción a través de sus huellas dactilares, la emisión de la luz, como Niels Bohr determinó.
Un anuncio de neón es un tubo de cristal relleno con el gas noble neón o con otro gas que brilla cuando se le aplica un voltaje. La “descarga luminosa”, vista por primera vez a finales del siglo XIX, funciona porque el voltaje eleva a los electrones de los átomos del gas a un nivel más alto de energía; después, los electrones descienden a niveles más bajos y sueltan fotones. Los gases poseen diferentes niveles de energía atómica, y estos niveles definen las longitudes de onda del fotón. El neón produce luz roja, el argón genera luz azul… y así.
La descarga luminosa está también en la iluminación fluorescente y en el láser. En un tubo fluorescente, los saltos cuánticos en el vapor de mercurio crean fotones ultravioleta, que activan un revestimiento dentro del tubo, el cual produce luz blanca. El láser, inventado en 1960, es como un tubo de descarga entre dos espejos. Al tiempo que los fotones de un salto cuántico atómico rebotan de un lado a otro, estimulan más fotones de los átomos que lo atraviesan. Eso produce un rayo mejorado de luz pura en una sola longitud de onda. Un rayo cuya infinita gama de usos hace evidente que la energía cuántica es real.
Los saltos cuánticos aparecen también en los diodos emisores de luz (led). Los leds están hechos de semiconductores en los cuales los electrones deben saltar a través de una brecha hacia una energía mayor, antes de moverse como corriente eléctrica. Al aplicarle voltaje al led, los electrones saltan la brecha, y después regresan produciendo fotones.
Además de para el led, el comportamiento cuántico es crucial para los aparatos digitales. Sus circuitos integrados están hechos de silicio semiconductor, cuya brecha de energía cuántica permite un buen control de los electrones para manipular los bits digitales.
Jugar a los dados
Aunque los saltos cuánticos se consideraron radicales, no contradicen las visiones existentes del mundo. La superposición, el entrelazamiento y la teletransportación, sin embargo, producen más extrañeza porque se oponen a nuestro entendimiento del universo. Estos problemas surgen porque la teoría cuántica no predice valores definitivos para las propiedades físicas, sino solo probabilidades.
Aunque los saltos cuánticos se consideraron radicales, no contradicen las visiones existentes del mundo. La superposición, el entrelazamiento y la teletransportación, sin embargo, producen más extrañeza porque se oponen a nuestro entendimiento del universo. Estos problemas surgen porque la teoría cuántica no predice valores definitivos para las propiedades físicas, sino solo probabilidades.
Einstein no creía que la naturaleza fuera azarosa, como lo expresó en su famoso comentario “Dios no juega a los dados con el universo”, pero en teoría cuántica este no parece ser el caso. Una bola de béisbol tiene cierto impulso, pero en el mundo cuántico, cualquier partícula lleva en sí todos sus posibles valores físicos al mismo tiempo o en “superposición” hasta que es medido o interactúa con el ambiente.
Por ejemplo, la propiedad llamada “giro” hace que los electrones se comporten como pequeñas barras magnéticas con su polo norte apuntando hacia arriba (U) o abajo (D). En teoría cuántica, el electrón está en estos estados al mismo tiempo, pues existe una probabilidad del 50% de que una medición muestre U o D.
El experimento del “gato de Schrödinger” –como lo imaginó en 1935 el pionero de la teoría cuántica Erwin Schrödinger– ilustra esta naturaleza estadística. El gato está muerto o vivo dependiendo de un evento aleatorio y, por tanto, puede describirse en ambos estados a la vez.
Extraño, pero útil
Necesitamos comprender estos raros efectos si deseamos entender la física cuántica; pero, incluso sin eso, la cuántica está entrando en la tecnología digital. Los circuitos integrados en los aparatos digitales representan bits binarios en pequeños interruptores electrónicos que se prenden o apagan para representar el 0 y el 1. Pero cualquier sistema con dos posibilidades también puede representar el 0 y el 1, incluyendo los estados U y D de los electrones y los estados H y V de los fotones; solo por medio de la superposición, estos representan 0 y 1 simultáneamente.
Necesitamos comprender estos raros efectos si deseamos entender la física cuántica; pero, incluso sin eso, la cuántica está entrando en la tecnología digital. Los circuitos integrados en los aparatos digitales representan bits binarios en pequeños interruptores electrónicos que se prenden o apagan para representar el 0 y el 1. Pero cualquier sistema con dos posibilidades también puede representar el 0 y el 1, incluyendo los estados U y D de los electrones y los estados H y V de los fotones; solo por medio de la superposición, estos representan 0 y 1 simultáneamente.
Esta es la idea innovadora detrás del bit cuántico, o qubit, una especie de superbit (el nombre se inventó como un chiste en 1995). Por ejemplo, dos bits ordinarios representan solo uno de los números decimales 0, 1, 2, 3… pero dos qubits representan los cuatro números al mismo tiempo. La ventaja crece rápidamente, de tal forma que 20 qubits cargan 20 millones más de veces la información que 20 bits. Se ha estimado que una computadora “cuántica” que usase 150 o 300 qubits tendría el poder de todas las supercomputadoras convencionales del mundo juntas.
El Joint Quantum Institute de la Universidad de Maryland y una docena de laboratorios más alrededor del mundo trabajan para usar qubits en la informática y también en las telecomunicaciones, ya que los fotones que atraviesan una amplia red de fibra óptica cargan gran parte de la información que viaja por el mundo, desde las llamadas telefónicas hasta las descargas de internet. Sin embargo, la tecnología de los qubit es difícil de implementar, porque las partículas deben ser aisladas del ambiente y mantenerse a temperaturas ultrabajas para que permanezcan en superposición. Pasarán años antes de que tengamos la computadora de 150 qubits, pero ya se han construido y programado las versiones de prueba que usan unos cuantos qubits de fotones para resolver el problema. Los qubits de fotones también se están utilizando para realizar transmisiones de información más seguras por medio de las aplicaciones del entrelazado.
Teletransportación
El primer paso para entrelazar fotones es crear un par correlacionado con uno de ellos en estado H y el otro en estado V (lo cual se puede obtener enviando luz a través de ciertos cristales), aunque aún no sabemos cuál es cual. Si después se separa ampliamente a los fotones, estos mostrarán una propiedad sorprendente. Si se mide al fotón 1 como H, la medición del fotón 2 dará V; pero si el fotón 1 se mide como V, el segundo fotón da H. De alguna manera, el fotón 2 “sabe” el resultado de la medición del fotón 1 y se ajusta de acuerdo con ese resultado; las dos partículas están entrelazadas.
El primer paso para entrelazar fotones es crear un par correlacionado con uno de ellos en estado H y el otro en estado V (lo cual se puede obtener enviando luz a través de ciertos cristales), aunque aún no sabemos cuál es cual. Si después se separa ampliamente a los fotones, estos mostrarán una propiedad sorprendente. Si se mide al fotón 1 como H, la medición del fotón 2 dará V; pero si el fotón 1 se mide como V, el segundo fotón da H. De alguna manera, el fotón 2 “sabe” el resultado de la medición del fotón 1 y se ajusta de acuerdo con ese resultado; las dos partículas están entrelazadas.
Para observar lo excepcional que es esto, pongámoslo en un contexto más familiar. Un cajón en la Ciudad de México contiene un número idéntico de calcetines negros y blancos, al igual que un cajón en Toronto, Canadá. Si se elige en forma aleatoria un calcetín en la Ciudad de México y un amigo escoge otro en Toronto, la mitad de las veces las elecciones coincidirán. Pero si los calcetines están entrelazados, como los fotones, no importa qué color elijas, tu amigo escogerá el otro color en todas las ocasiones, a pesar de la distancia entre los dos calcetines y la ausencia de cualquier conexión física.
El entrelazado de los fotones se demostró en el laboratorio en 1982; las últimas mediciones muestran que puede operar en distancias de hasta 144 kilómetros de espacio vacío. También señalan que cualquier información transmitida entre los fotones viaja 10.000 veces más deprisa que la luz y quizá de manera instantánea. Esto contraviene los resultados de la relatividad de Einstein, donde se asegura que nada puede viajar más rápido que la luz. Peor aún, la transmisión instantánea nos hará volver a considerar por completo nuestras nociones de tiempo y espacio.
Mucho antes de que se dieran estos inquietantes resultados, a Einstein le costaba trabajo aceptar el entrelazamiento y lo llamó “una espeluznante acción a distancia”. Pero existe, con partículas conectadas de algún modo por un desconocido canal cuántico que no logramos comprender. Aún más: los investigadores han llevado este misterioso vínculo más allá, al campo de la teletransportación. En ese medio de transporte tan común en la ciencia ficción, una persona o un objeto es replicado en otra parte mientras desaparece de su ubicación original, como podía verse en las historias de Star Trek. En 1993, Charles Bennett de IBM y sus colegas mostraron en teoría cómo teletransportar un fotón. Imaginando un par de fotones entrelazados en distintas ubicaciones, A y B, demostraron que el estado polarizado de un tercer fotón podía enviarse de la posición A al fotón en B, por medio del canal de entrelazamiento, recreando de tal manera al tercer fotón en el sitio lejano. Anton Zeilinger (el del cuestionario cuántico) y sus colegas demostraron la teletransportación de un fotón en el laboratorio en 1997, y en 2012 reportaron haber teletransportado fotones en distancias mayores a 143 kilómetros.
Un ordenador cuántico tendría el poder de todas las supercomputadoras convencionales del mundo
El secreto cuántico
Estos efectos van más allá de la ciencia ficción cuando los fotones polarizados se controlan como qubits en la criptografía cuántica, método diseñado para transmitir información de modo seguro por medio de una red de fibra óptica. En 1984, Charles Bennett y Gilles Brassard inventaron la distribución de la llave cuántica. Como la combinación de un candado, la “llave” es un largo hilo de bits que conforman la contraseña secreta para acceder a un complejo de algoritmos que codifican y decodifican información. El código es indescifrable sin la llave, pero esta, a su vez, debe ser difundida del transmisor al receptor cuando corre el riesgo de ser leída por un tercero.
Estos efectos van más allá de la ciencia ficción cuando los fotones polarizados se controlan como qubits en la criptografía cuántica, método diseñado para transmitir información de modo seguro por medio de una red de fibra óptica. En 1984, Charles Bennett y Gilles Brassard inventaron la distribución de la llave cuántica. Como la combinación de un candado, la “llave” es un largo hilo de bits que conforman la contraseña secreta para acceder a un complejo de algoritmos que codifican y decodifican información. El código es indescifrable sin la llave, pero esta, a su vez, debe ser difundida del transmisor al receptor cuando corre el riesgo de ser leída por un tercero.
Bennett y Brassard mostraron cómo podía evitarse esa vulnerabilidad en la seguridad usando la aleatoriedad cuántica de los qubits de fotones, para crear un único y azaroso hilo de bits que funcionara como una codificada llave secreta basada en el entrelazamiento de fotones. Las llaves cuánticas se han usado para asegurar transferencias bancarias y resultados electorales en Suiza. Aún no son comunes.
Rareza cuántica de tamaño completo
Es posible que jamás seamos capaces de teletransportar gente o grandes objetos, pero en 2011, Ian Walmsley, de la Universidad de Oxford, y sus colegas entrelazaron objetos macroscópicos visibles para el ojo humano: dos diamantes, cada uno de tres milímetros de largo.
Es posible que jamás seamos capaces de teletransportar gente o grandes objetos, pero en 2011, Ian Walmsley, de la Universidad de Oxford, y sus colegas entrelazaron objetos macroscópicos visibles para el ojo humano: dos diamantes, cada uno de tres milímetros de largo.
Los átomos en sólidos cristalinos, como los diamantes, vibran a energías cuánticas, las cuales se encuentran en cantidades inusuales en los átomos de carbono de losdiamantes. En el experimento, estos efectos exteriores se mantuvieron al margen lo suficiente como para preservar los estados cuánticos y permitirles a los investigadores enlazar los diamantes a distancias de hasta 15 centímetros. Este es un paso en la creciente extrañeza cuántica para llegar a un punto en el cual sea más fácil examinarla y comprenderla.
La idea de Max Planck en 1900 comenzó un viaje desde el mundo ordinario hacia el mundo submicroscópico. Aunque aún no comprendemos por completo la teoría cuántica, ilumina este mundo y hace que la tecnología avance. Con resultados como los del experimento de los diamantes, continuamos el viaje trayendo el universo submicroscópico al mundo que ocupamos. Planck, Einstein y Bohr estarían hoy completamente fascinados.
miércoles, 13 de marzo de 2019
martes, 12 de junio de 2018
Teoría de van Hiele
Hace
más de 40 años surgió el modelo de van hiele, por los esposos pierre
m. van hiele y dina van hiele-geldof quienes eran
profesores de geometría de enseñanza secundaria en Holanda.
Es una
teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría
El
aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles de
pensamiento. Según este modelo, se requiere una adecuada instrucción para que
los alumnos puedan pasar a través de los distintos niveles.
Niveles (5)
0.
Visualización o Reconocimiento.
Los objetivos se
perciben en su totalidad como todo, no diferenciando sus características y
propiedades.
Ejemplo:
·
Identifica ángulos y triángulos en diferentes posiciones en
imágenes.
1.
Análisis.
Se perciben propiedades
de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a través de sus propiedades.
Ejemplo:
·
Un cuadro tiene lados iguales.
·
Un cuadro tiene ángulos iguales
2.
Ordenación o clasificación.
Describen objetos y figuras de manera formal. Entienden los
significados de las definiciones.
Reconocen como algunas propiedades derivan de otro.
Ejemplo:
·
En un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados
opuestos paralelos.
3.
Deducción Formal.
En este nivel se
realizan deducciones y demostraciones. Se entienden la naturaleza axiomática y
se comprende las propiedades y se formalizan en
sistemas axiomáticas.
Ejemplo:
·
Demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales
de un paralelogramo se cortan
en su punto medio.
4.
Rigor.
Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos
geométricos concretos.
Ejemplo:
·
Demuestra axiomas
y teoremas
miércoles, 23 de mayo de 2018
miércoles, 25 de abril de 2018
miércoles, 11 de abril de 2018
sábado, 25 de noviembre de 2017
viernes, 24 de noviembre de 2017
viernes, 17 de noviembre de 2017
sábado, 11 de noviembre de 2017
lunes, 6 de noviembre de 2017
martes, 11 de julio de 2017
martes, 4 de julio de 2017
viernes, 23 de diciembre de 2016
miércoles, 21 de diciembre de 2016
martes, 20 de diciembre de 2016
martes, 25 de octubre de 2016
martes, 18 de octubre de 2016
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